【中学1年生・数学】『空間図形』立体の表面積を分かりやすく解説【確認問題つき】

中1数学

こんにちは!塾長のはいたっちです。
@hitouch_life

 

今回の授業では、『立体の表面積』を勉強していきます。

 

よろしくお願いします。

 

はいたっち
はいたっち

立体を展開して考える力が必要だよ!

いろいろな図形を頭の中でイメージできるようになろう!

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【立体の表面積の基本】底面積?側面積?

立体図形の側面の面積を側面積といい、底面の面積を底面積といいます。

 

そして、すべての面の面積の合計が表面積です。

 

上の図の立体(円柱)の場合、側面積と上下の底面積の合計が表面積となります。

 

はいたっち
はいたっち

実際に上の図で表面積を考えてみよう

【円柱の表面積】側面積+底面積(上側)+底面積(下側)

円柱を展開する(開く)と、上の図のようになります。

 

すると、底面積である円が2つと、側面積である長方形が1つ出現します。

底面積

底面積はπr²です。

 

円の面積を計算することができれば、底面積は分かります。

 

側面積

円柱の側面を展開すると長方形になります。

 

タテ×ヨコで面積を計算することができます。

 

タテは、『高さh』で問題ありませんよね。

うしくん
うしくん

横の長さは??

タテの長さは簡単に分かっても、横の長さは少し複雑です。

 

図形をよく見てみて下さい、横の長さは円の円周であることが分かります。

 

半径rの円の円周は2πrですので、この長方形の面積は、h×2πrとなります。

 

 

はいたっち
はいたっち

底面積と側面積を全て合計すれば表面積を計算できます。

円錐(円すい)の表面積のもとめかた

次は円錐の表面積を計算してみましょう。

 

円錐を展開すると、円とおうぎ形に分けられます。

 

 

しかし、おうぎ形の面積を求めたくても、中心角が分かりません。

 

このような場合はどうすればよいのでしょうか?

おうぎ形の弧の長さが分かれば面積が分かる?

中心角が分からなくても、おうぎ形の弧の長さは計算することができます。

 

円錐の底面である円の円周が、おうぎ形の弧の長さと等しいです。

 

はいたっち
はいたっち

上の図の赤いラインは同じ長さだよ!

 

つまり、おうぎ形の弧の長さは、2πrだということが分かります。

弧の長さは大きな円の何割?

このおうぎ形は、半径hの大きな円(緑の点線)の一部であることが分かります。

 

先ほど求めたおうぎ形の弧の長さ(2πr)が、緑色の大きな円の円周(2πh)の何割か?

 

ということが分かれば、おうぎ形の面積を求めることができます。

 

 

 

はいたっち
はいたっち

詳しい計算方法は上の図を見てね!

おうぎ形の面積を簡単に計算する公式

弧の長さが分かっている場合、おうぎ形の面積を簡単に計算する公式があります。

*)弧の長さをl(エル)とする

 

おうぎ形の面積=1/2×l×r

確認問題

Q:次の問にこたえなさい

下の円錐において、h=18cm、r=3cmのとき、表面積を求めなさい。

 

 

はいたっち
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確認問題の答えはこの記事の最後!

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はいたっち
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確認問題の答えがこちら!

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確認問題の答え;63π

 

はいたっち
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できたかな?

 

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